Qu'est-ce que l'infini ?

Cela fait environ 2500 ans que les mathématiciens et les philosophes, rejoints ensuite par les physiciens, explorent la notion d’infini. Au V^ème siècle avant J.-C., Zénon d’Élée formule le paradoxe d’Achille et de la tortue : le demi-dieu fait la course avec la tortue et, afin de donner une chance à l’animal connu pour sa lenteur, lui accorde une longueur d’avance. Le paradoxe réside dans le fait qu’un raisonnement simple tend à prouver qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue, ce que le bon sens réfute. En effet, quand Achille atteint le point de départ de la tortue, celle-ci a progressé ; rejoindre sa nouvelle position devient l’objectif d’Achille mais, quand il y parvient, la tortue a encore progressé… et ainsi de suite : cette situation se répète à l’infini, ce qui semble indiquer qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue. Zénon en conclut que la notion d’infini échappe à toute manipulation par le raisonnement. C’est Aristote qui, au IV^ème siècle avant J.-C., permet de résoudre ce paradoxe en distinguant 2 types d’infini : l’infini actuel, dont l’infinitude existe à un instant donné ; et l’infini potentiel, qui ne manifeste son infinitude que dans la durée. Selon le philosophe, l’infini potentiel est une caractéristique de la réalité, ce qui lève le paradoxe de Zénon.

L'infini en question

Mais au Moyen Âge, les mathématiciens découvrent une nouvelle sorte de paradoxe qui apparaît quand on veut apparier les éléments d’un ensemble infini avec ceux d’un autre ensemble infini : par exemple, on peut apparier les entiers naturels avec les nombres pairs : 1 avec 2, 2 avec 4, 3 avec 6… Ainsi, puisque les nombres pairs forment un sous-ensemble des entiers naturels, on prouve que, dans ce cas, la partie est aussi grande que le tout ! Devant ce résultat paradoxal, la tentation est grande de renoncer à tout raisonnement portant sur l’infini.

C’est le mathématicien allemand Georg Cantor (1845−1918) qui donne ses fondements les plus solides à l’étude de l’infini. Il démontre que tous les infinis n’ont pas la même taille et qu’il existe des infinis dénombrables et des infinis qui ne le sont pas.

Aujourd’hui, l’infini est présent dans de nombreux domaines de la science. Plus proche des préoccupations de l’homme de la rue, la maîtrise de la notion d’infini est cruciale en raison de l’utilisation d’ordinateurs pour construire des barrages, des avions, etc. En effet, les ordinateurs manipulent des nombres «infinis» qu’ils ne peuvent représenter que par des nombres finis, ce qui provoque les erreurs d’arrondi qu’il faut traiter comme des nombres «infiniment petits».

Toutes ces questions seront abordées mardi 26 mai à 19h au café Les Jardins, 9 place Jean Jaurès à Saint-Étienne, dans le cadre du prochain café « Sciences & philo » de l’association Astronef (en partenariat avec « Le Petit Bulletin »). Jacques Guarinos